La vuelta del pádel y un desafío matemático con amigos

En 1991 cursé mi primer año de Facultad y uno de los desafíos era hacer nuevas amistades. En general mi gusto y cierta facilidad para algunos deportes me ayudaban en esa tarea, ya que solía ser tímido al menos hasta adquirir algo de confianza. Por eso, cuando surgió la posibilidad de sumarme a jugar al pádel con otros 3 compañeros, no dudé en hacerlo. Para aquella época, el deporte, que se juega con 2 jugadores por equipo, estaba de moda desde hacía pocos años y si bien nunca había jugado, confiaba en no hacer papelones. Después de una jornada de reconocimiento del nivel de juego de cada uno, decidimos que en adelante el mejor de los cuatro jugaría con el peor como compañero para hacer los partidos más parejos, más divertidos y, por qué no, más competitivos. Durante aproximadamente un año jugamos con mucha frecuencia. Prosperamos, competimos, nos divertimos y forjamos una gran amistad. Luego el deporte pasó de moda y dejamos de jugar aunque la amistad perduró hasta la actualidad. Y, por cierto, a mí me tocó jugar con el mejor.

Hace dos semanas, 30 años después de no haber tocado una paleta, nos volvimos a reunir en una cancha de pádel los mismos 4 amigos (un tanto más pelados, gordos y rígidos) para renovar la competencia. Claro que los equipos no se tocan. Ya jugamos 2 veces con una victoria por bando. Aunque sigo siendo el peor, el nivel de los 4 es bastante parejo y el nivel de ambos equipos está extremadamente nivelado. Tanto es así que los partidos se definen por detalles y cualquier ventaja que se pueda lograr desde la estrategia de juego vale, y mucho.

Una de las cuestiones estratégicas más relevantes a definir es quién de los 2 compañeros de equipo saca en primer lugar. La respuesta es fácil, el mejor. O bien, el que mejor saca. Para el caso, siempre es mi compañero. Otra decisión, más relevante aún (y el objeto de este artículo), es decidir quién recibe el primer saque del rival o bien los llamados “saques pares” (aunque los saques 1ro, 3ro, 5to y así, sean impares). Corresponde aclarar que ambos somos diestros. Así, el que recibe el primer saque podrá resolver el tiro más complejo del rival, que es cuando la pelota pica cerca de la pared lateral, con su drive. Tanto mi compañero como yo (y la mayoría de los jugadores diestros) nos sentimos bastante más cómodos recibiendo de ese lado que del otro. Por lo tanto, lo lógico parece ser que quien tenga mejores condiciones reciba los “saques impares”, que son más complejos y yo reciba el saque primero, tercero, quinto, séptimo y así sucesivamente.

¿Y entonces? Resulta que hay un factor más para tener en cuenta. Quien reciba en primer término lo hará una vez más que su compañero en un 25% más de los juegos (games) en los que el rival tenga el servicio. Ese dato puede hacer cambiar la decisión y poner al mejor jugador a recibir el primer saque. Pero, ¿de dónde sale ese porcentaje? Resulta que por cómo son las reglas de definición de un game, la cantidad de puntos para resolver cada juego podrán ser: 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14 y cualquier otro número par. Lo explico. Para ganar un game hay que sumar 4 o más puntos con diferencia de al menos 2 puntos sobre el rival. Por lo tanto, las posibles resoluciones de un game son las siguientes: 4-0, 4-1, 4-2, 5-3, 6-4, 7-5, 8-6 y así sucesivamente. Si sumamos los tantos de ambos equipos en las distintas alternativas de resolución de un game, la cantidad de puntos a jugar por game serán entonces: 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14 y así; como habíamos anticipado. Resulta entonces que, dado que 5 es la única solución impar, solo mi compañero recibirá un saque más que yo cada vez que un juego se resuelva en 5 tantos. De ahí la importancia de determinar cuál es la probabilidad de que un juego termine luego de disputarse 5 puntos. Dicha probabilidad nos es un cálculo sencillo, ya que la misma depende de un montón de factores como la capacidad de los 4 jugadores (en especial del sacador) entre otros. Si uno de los equipos es muy superior o inferior al otro impacta de manera importante en la probabilidad de que el juego se resuelva más temprano que tarde. Pero, como dije anteriormente, resulta que ambos equipos somos extremadamente parejos, por lo que la probabilidad de que mi equipo (o el equipo rival) gane un punto cualquiera es prácticamente igual a la probabilidad de sacar una cara (o una seca) al tirar una moneda al aire (es cierto que el equipo que saca corre con cierta ventaja adicional). Con estas consideraciones, razoné de la siguiente manera. Supongamos que jugamos 5 puntos seguidos y nos detenemos. No importa si algún equipo obtuvo el juego en el cuarto punto, en el quinto o bien nadie obtuvo el game al cabo de los 5 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que el juego efectivamente se resuelva en el quinto punto? Respuesta: el 25%.

Paso a explicar el cálculo. La sucesión de puntos se puede dar de 32 maneras posibles que resultan de elevar el número 2 a la quinta potencia, dado que cada punto puede ser ganados por algunos de los 2 equipos y se juegan 5 puntos. Es como tirar la moneda al aire 5 veces. La posibilidad de que al cabo de los 5 puntos el juego se haya resuelto en 4 (no importa que luego se juegue un punto más) es de 4 en 32, es decir, el 12,5%. Los 4 resultados posibles son:

1. AAAAA

2. AAAAB

3. BBBBB

4. BBBBA

Siendo A y B los puntos ganados por el equipo A y B respectivamente.

Para que el juego se resuelva en 5 puntos, tendrá que darse alguna de las siguientes opciones:

1. AAABA

2. AABAA

3. ABAAA

4. BAAAA

5. BBBAB

6. BBABB

7. BABBB

8. ABBBB

Por los tanto son 8 casos favorables de 32 igualmente posibles, ¡¡¡¡nuestro 25%!!!

Esto significa que la probabilidad de que el juego se resuelva en más de 5 puntos será del 62,5% (= 100% - 12,5% - 25%).

Por supuesto que también podría haber planteado el ejercicio de jugar solo 6 puntos o más y razonar de la misma manera. El resultado habría sido el mismo: la probabilidad de que el game se resuelva en 5 puntos habría sido del 25%, aunque el cálculo habría sido más complejo.

Ahora ya lo saben, si la probabilidad de que un equipo cualquiera gane un punto cualquiera es del 50%, entonces un 12,5% de los games se resolverán en 4 puntos, un 25% en 5 puntos, un 31,25% en 6 puntos y un 31,25% de las veces en más de 6 puntos (8, 10, 12, 14….).

Como advertimos, el 25% calculado tiene imprecisiones dado que la probabilidad de que un equipo gane un punto no es necesariamente del 50%. Pero lo que es seguro es que quien recibe primero recibirá más veces que su compañero. Y si el nivel es muy parejo, aún en un game dado en el que un equipo está al servicio, entonces quien recibe primero recibirá 3 veces y su compañero 2 en el 25% de los juegos de servicio del rival.

Nuestra decisión hasta el momento fue que yo reciba del lado más complejo a pesar de ser el de menor nivel dado que mi compañero recibe una vez más cada 4 juegos de saque del rival. Cada detalle importa para llevarse la victoria y no queremos dejar nada librado al azar.

Conforme a los criterios de

Conocé más