La paradoja del cumpleaños: por qué es más probable de lo que creés encontrar a otra persona con tu misma fecha de nacimiento

Si estás en una habitación con otras 22 personas, hay mayor probabilidad de que dos de ellas compartan cumpleaños a que ninguna lo haga.

Hubo algo raro en la Copa Mundial femenina que se acaba de celebrar en Australia. Si estabas prestando suficiente atención, de pronto te diste cuenta. Muchos de los equipos internacionales tenían jugadoras que habían nacido el mismo día del año: es decir compartían cumpleaños.

¿Qué estaba ocurriendo?

Hay un fenómeno contraintuitivo que se conoce como el “problema del cumpleaños” o la “paradoja del cumpleaños” que los matemáticos usan para sorprendernos. El problema, por lo general, se presenta de esta manera: “¿Cuántas personas necesitas tener en un evento antes de que las probabilidades de que alguien comparta cumpleaños aumente a más del 50%?”.

Inicialmente, cuando se les presenta este problema, las personas tienden a dar un número como 180, lo cual es aproximadamente la mitad de días que tiene el año. Esto se da porque tendemos a imaginarnos a nosotros mismos en el cuarto y pensar en las probabilidades de que alguien coincida con nuestro propio cumpleaños. Pero, de hecho, 180 son demasiadas.

Partiendo de asumir razonablemente que los cumpleaños están -a grandes rasgos- distribuidos uniformemente a lo largo del año, la respuesta es de apenas 23 personas. Esto se da porque no nos preocupa qué día en particular cae el cumpleaños, solo queremos saber si hay una coincidencia. Para el momento en el que llegamos a 39 personas, las posibilidades de que dos personas coincidan en su cumpleaños aumenta a casi el 90%.

Para poder entender por qué se requiere un número tan bajo, podríamos empezar por considerar el número de pares de personas en la habitación: al fin y al cabo, lo que nos interesan son pares de cumpleaños que caen el mismo día. Si tenemos 23 personas en la habitación, hay 253 maneras posibles de combinarlos en pares (como en el diagrama de abajo). El cálculo exacto de la probabilidad de coincidencia es un poco más complicada pero a lo mejor, cuando nos damos cuenta que 23 individuos nos dan 253 pares, la probabilidad de que al menos uno de esos pares tenga el mismo cumpleaños aumenta a más del 50%. Si hay más de 50 personas, las posibilidades de que alguien comparta cumpleaños aumenta a más de 97%.

Del dicho al hecho...

Hasta ahí la teoría pero, ¿funciona en la práctica? En el Mundial femenino de 2023 hubo 32 selecciones participantes, cada una con exactamente 23 jugadoras. Es el terreno perfecto para probar la teoría.

Luego de analizar los datos pude encontrar que 17 (un poco más de la mitad) de las 32 escuadras tenía al menos dos jugadoras que compartían cumpleaños. Puede no encajar perfectamente con la teoría, pero la cifra se aproxima lo suficiente al 17 que esperaríamos en promedio si el experimento se repitiera en diferentes ocasiones.

Llamativamente, sólo hubo una pareja que nació exactamente el mismo día del mismo año (5 de diciembre del 2000) -las panameñas Carmen Montenegro y Lineth Cedeño-. Tres equipos (Brasil, Colombia y Dinamarca) tuvieron dos pares de cumpleaños compartidos mientras que otros dos, tuvieron tres onomásticos compartidos (Marruecos y Nigeria). Una de las parejas de Nigeria (con los nombres particularmente navideños de Glory Ogbonna y Christy Ucheibe) tuvo la segunda fecha más común entre todos los equipos, el día de Navidad, compartida por siete personas en el torneo.

Durante la segunda semifinal, hubo una pareja que compartía cumpleaños que se enfrentó: Alex Chidiac (Australia) y Chloe Kelly (Inglaterra) -las dos jugadoras que entraron a hacer sustituciones tardías- comparten su cumpleaños el 15 de enero, aunque Kelly sea mayor exactamente un año que Chidiac.

La mediocampista inglesa Jordan Nobbs y su contrincante, la delantera española Esther Gonzalez, nacieron exactamente el mismo día, el 8 de diciembre de 1992. A pesar de estar en sus respectivos equipos, ninguna jugó durante la final.

En total, identifiqué 24 pares de cumpleaños dentro de los equipos (coincidencialmente, uno más que el número mágico, 23) así que el “razonamiento del cumpleaños” sugiere que también hay -probablemente- un par de pares entre estas parejas. Y de hecho, el 3 de marzo es el cumpleaños de tanto una pareja danesa (Simone Boye Sørensen y Luna Gevitz) y una pareja colombiana (Sandra Sepúlveda y Diana Ospina García). El 3 de marzo terminó siendo el cumpleaños más común entre todas las escuadras: un total de nueve jugadoras compartían la fecha.

¿Coincidencias en el ADN?

Más allá del fútbol, el mismo razonamiento detrás del “problema del cumpleaños” nos ayuda a explicar las que parecieran ser paradojas de otras disciplinas. En 2011, mientras científicos buscaban en la base de datos de ADN de Arizona (con más de 65.493 muestras), se descubrió una coincidencia parcial entre dos perfiles de ADN no relacionados (sin vínculos familiares). Para dos individuos sin relación alguna, solo se esperaría este resultado una vez cada 31 millones de pares de perfiles investigados.

Este descubrimiento sorpresa, que los investigadores presentaron durante una conferencia científica, dio pie a una búsqueda mayor de este tipo de coincidencias. Al comparar todos los perfiles de la base de datos, se identificaron 122 pares de individuos con un nivel parecido (o mayor) de coincidencia.

Abogados en varias partes de EE.UU. se han basado en este estudio para dudar de la singularidad de los identificadores del ADN y han pedido que se hagan comparaciones similares en otras bases de datos de ADN, incluyendo la base de datos nacional, que contiene más de 11 millones de muestras.

Si 122 coincidencias aparecieron en una base de datos tan pequeña como una de 65.000 personas, ¿realmente se puede contar con el ADN para identificar sospechosos individualmente en un país con 300 millones de habitantes? ¿Están equivocadas las probabilidades asociadas con perfiles de ADN, lo cual pondría en riesgo las convicciones hechas basándose en evidencia de ADN? Algunos abogados así lo creen e, incluso, han presentado los resultados de Arizona para poner en duda la solidez de las pruebas de ADN en los casos de sus defendidos.

De hecho, podemos hacer el cálculo y decir que si se comparan las 65.493 muestras de la base de datos en Arizona entre sí, nos da un total de más de 2 mil millones de pares únicos. Con una probabilidad de coincidencia de una por cada 31 millones de pares de perfiles sin relación cercana, deberíamos encontrar 68 coincidencias parciales. La diferencia entre las 68 que se esperaban y las 122 que aparecieron podrían fácilmente explicarse por los perfiles de los parientes cercanos en la base de datos. Los perfiles de familiares tienden a presentar coincidencias parciales mucho más a menudo que en aquellos sin relación. En vez de hacernos dudar en la evidencia de ADN, los resultados de la base de datos coinciden muy bien con las “matemáticas del cumpleaños”.

El número tan inesperadamente alto de combinaciones de pares que presentan problemas como el del cumpleaños son, por lo general, la fuerza que pareciera permitirle la viabilidad a eventos muy poco probables, que pasan por pura casualidad. Vale la pena recordar que en situaciones así, cuando hay suficientes posibilidades para que un evento ocurra, así las probabilidades de que el evento se de sean bajas, se pueden juntar y pueden hacer que eventos altamente improbables se vuelvan altamente probables.

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