Qué es el “problema de la secretaria” y cómo te puede ayudar a elegir mejor

El astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) es considerado por muchos como uno de los científicos más grandes de la historia. Famoso por haber sido el primero en describir correctamente el movimiento de los planetas alrededor del Sol, con órbitas elípticas en vez de circulares, y por descubrir tres grandes leyes del movimiento planetario, que para él no eran leyes sino armonías celestiales. Además de varios otros logros, escribió una de las primeras obras de ciencia ficción “Somnium” (“El sueño”) en la que describió un viaje a la Luna.

Sin embargo, se enfrentó a una serie de desafíos. Tuvo que defender a su madre de las acusaciones de brujería, tenía pocos recursos económicos y su carrera se vio afectada como resultado de su fe luterana. Pero en 1611, otro problema más aquejaba al erudito: necesitaba una esposa. La primera falleció, dejándolo con hijos que criar y un hogar que administrar. Había sido un matrimonio de conveniencia, que lo unió a una mujer con un carácter abominable, según dijo, “grasa y simple de espíritu”. Esta vez quiso asegurarse de que le fuera mejor.

Siendo un científico, definió el número finito de candidatas -11-, y tomó notas durante el proceso de selección, que se extendió por 2 años, como cuenta el autor Alex Bellos en “Grapes of Maths”. La 1ª candidata, escribió, tenía “aliento apestoso”. La 2ª “había sido criada en un lujo que estaba por encima de su posición social”. La 3ª estaba comprometida con un hombre que había tenido un hijo con una prostituta. La 4ª mujer era “de estatura alta y complexión atlética” y le gustó, pero quiso ver a la 5ª antes de decidir, pues le habían hablado muy bien de ella. Dudó tanto que ambas perdieron interés.

La 6ª era una gran dama, y él “temía los gastos de una boda suntuosa”. La 7ª le gustó mucho pero en su afán por conocer a las que le faltaban, la hizo esperar... y la perdió. La 8ª no le agradó mucho; la 9ª era enfermiza; la 10ª tenía una figura que no era apta “ni siquiera para un hombre de gustos sencillos” y la 11ª era demasiado joven. “¿Fue la Divina Providencia o mi propia culpa moral lo que, durante dos años o más, me llevó en tantas direcciones diferentes y me hizo considerar la posibilidad de uniones tan distintas?”, se preguntó desesperanzado.

Siglos más tarde, ese proceso de elección sería formalizado como el problema del matrimonio o de la dote del sultán, del pretendiente quisquilloso y de la mejor elección, dependiendo del ejemplo que se usara para contarlo. “Resultó ser un problema matemático casi perfecto: simple de explicar, endiablado de resolver, sucinto en su respuesta e intrigante en sus implicaciones”, comentaron Brian Christian y Tom Griffths en su libro “Algoritmos para la vida cotidiana”. “Como resultado, se extendió como un reguero de pólvora por los círculos matemáticos en la década de 1950″, añadieron.

En 1960, el erudito Martin Gardner lo popularizó al incluirlo en su columna Mathematical Games (Juegos Matemáticos) en la revista Scientific American. Unos años después se le empezó a llamar con el nombre que ahora se le conoce más comúnmente: el problema de la secretaria. Como sea que quieras llamarlo, es un problema que se presenta en varios ámbitos de la vida, desde la compra de bienes y la elección de parejas hasta en investigaciones y la informática. Y tiene solución... al menos matemática.

Entre muchos, lo mejor

Lo que conviene tener a la mano, si estás en una encrucijada como la de Kepler, es una estrategia óptima: una forma de incrementar la posibilidad de que te satisfaga tu decisión. No te garantiza éxito, ni asegura que elijas la mejor opción de todas las que existen, pero ayuda a maximizar la recompensa o minimizar el costo. ¿No te está sonando muy prometedor?

Tienes razón: cuando tienes la oportunidad de elegir, idealmente recabas toda la información pertinente, la examinas, reflexionas y cuando tienes claro qué quieres, lo anuncias. Pero piensa, por ejemplo, en situaciones como la compra de una casa. Podrías, en teoría, ver todo lo que está en oferta, considerar, investigar, reconsiderar y finalmente decantarte por una.

Sólo que generalmente ese “todo” es mucho, y siempre llega el momento en el que hay que dejar de ver y tomar una decisión. Para entonces, quizás ya vendieron la que querías: si tras tanta pesquisa te pareció la mejor, no sorprendería que otros que buscan propiedades similares concuerden. ¿Matemáticas al rescate? Vamos paso a paso.

Supón que tienes que comprar una casa ya, y que sólo hay dos a la venta en el área y con las características que necesitas. La demanda es alta, así que no te puedes arriesgar a dejar pasar la que te guste. En este caso tienes 1 en 2 oportunidades -o un 50%- de elegir la mejor. Vas a ver la primera propiedad. Está bien, pero no sabes si la segunda será mejor o peor. Tú decides si te arriesgas a rechazar esta y quedarte con la segunda como única opción. La probabilidad de que sea lo más conveniente sigue siendo 50:50.

Pero si agregamos una propiedad más, las cosas cambian. Si eligieras aleatoriamente, la posibilidad de que compres la mejor es de 1 en 3. Sin embargo, puedes mejorar tus posibilidades si vas a ver la primera casa pero la rechazas. ¿Por qué? Porque tú no sabes nada sobre las propiedades que te van a mostrar, así que no tienes punto de referencia, indispensable para calificar de peor o mejor algo.

Por eso necesitas ver la primera casa para que te sirva de listón, y cuando te muestren la segunda sabrás si es mejor o peor. Para entonces, la primera ya no será una opción, y la tercera seguirá siendo una incógnita. Pero si la segunda resulta ser mejor que la primera, convendría comprarla. Y si es peor, arriesgarse a quedarse con la tercera. Hay otras dos cosas que no sabes de antemano.

Una es que hay una casa que es la mejor, otra que “está bien” y otra que es la peor. Lo otro que no sabes es en qué orden te las van a mostrar, y el resultado depende de eso. Con tres opciones, hay 6 combinaciones distintas, como verás en la ilustración de abajo, en la que la mejor es la casa más colorida y la peor, incolora.

Recuerda que esta es una estrategia para incrementar la probabilidad de llegar al resultado más positivo, no para garantizarlo. Como ves, en 3 de los 6 casos posibles te quedas con la mejor casa. Eso es 3/6 = 1/2, o sea que la probabilidad de lograr el mejor resultado aumentó del 33,33% al 50%. Y la de elegir la peor, se redujo de 33,33% a 16,6%.

Ahora, a medida que aumentan las opciones, que en nuestro ejemplo es el número de casas a la venta, aumenta también la cantidad de propiedades que tendremos que ver y rechazar antes de tener una idea de cuán alto podemos poner el listón. Es entonces cuando damos un paso más en la teoría de la parada óptima -a grandes rasgos, cuándo dejar de observar y disponerse a elegir-, y descubrimos una regla que le habría ayudado a Kepler.

36,8%

Vamos al problema que le dio el nombre más común a este problema. Un empleador debe elegir una secretaria entre 100 candidatas. Puede entrevistarlas a todas, pero apenas termine cada entrevista tiene que contratarla o dejarla ir para siempre. ¿A cuántas debería entrevistar sin contratar para aumentar la probabilidad de escoger la mejor? ¿Recuerdas aquello de que este es un problema “simple de explicar, endiablado de resolver, sucinto en su respuesta”?

Pues ya te lo explicamos y, afortunadamente, los matemáticos lo resolvieron y demostraron que la sucinta respuesta es 37 (o, más exactamente, 36,8). Se le conoce como la “regla del 37%” se refiere a una serie de pasos, o algoritmos, que alguien debe seguir para tomar la mejor decisión en un tiempo determinado. Si le asignas el 37% de tu tiempo a la investigación antes de tomar una decisión, luego te comprometes a quedarte con la siguiente “mejor opción” que encuentres, tendrás más posibilidades de elegir lo mejor.

Según eso, en el caso de las secretarias, el empleador debería entrevistar a las primeras 37 candidatas sin siquiera plantearse si debe contratarlas o no. Entre ellas, una se destacará como la mejor. A partir de la candidata número 38, debería contratar a la primera que sea tan o más buena que la mejor del grupo de prueba, así le falten muchas más por entrevistar.

Por supuesto, esto es un modelo, que aunque se fue afinando, habla de una solución óptima, cuya aplicación en la vida cotidiana rara vez es tan exacta. No obstante, sirve de guía y resalta el valor de explorar, pero también de parar y de aprovechar lo aprendido para decidir.

Si Kepler hubiera seguido la fórmula, habría tenido que renunciar a las primeras cuatro de sus 11 candidatas. A partir de la quinta, tendría que haberle propuesto matrimonio a la primera que le gustara igual o más que la mejor opción de su muestra, la 4ª, esa mujer “de estatura alta y complexión atlética” que le agradó. Y resulta que la primera que le gustó igual o más que ella fue la 5ª, Susanna Reuttinger, aquella que se hartó de su indecisión y perdió todo interés.

Quizás la regla del 37 la habría ahorrado tiempo, sinsabores y desesperanza, pero en ese entonces aún era desconocida y para Kepler todo pareció llegar a un desafortunado fin. Pero te tenemos un final feliz, y muy 37%. Tras reflexionar, el astrónomo decidió volver a cortejar a la mujer que más le gustó entre las 11 candidatas, y logró ganarse sus afectos, a pesar de todo.

Según escribió en una carta a un noble anónimo en 1613, su nueva esposa lo “conquistó con amor, humilde lealtad, economía doméstica, diligencia y el amor que les dio a los hijastros”. Coincidencialmente, esa esposa era Susanna.

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