Los cuatro problemas matemáticos de la antigüedad que demostraron que lo imposible es posible

Son los problemas clásicos de las matemáticas antiguas y tienen el encanto de parecer sencillos. La verdad es que no es difícil resolverlos, sino imposible. Pero, tomó milenios comprobarlo, siglos en los que luminarias como Euclides, Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss, así como artistas e intelectuales intentaron hallar la forma de solucionarlos. Sus exploraciones, no obstante, no fueron vanas sino inspiradoras e impulsaron el desarrollo de las matemáticas.

No se sabe con certeza cómo surgieron, pero el más famoso de ellos, buscar la cuadratura del círculo, por ejemplo, aparece ya en el Papiro Rhind, un documento de hace unos 4.000 años del antiguo Egipto. Lo que sí se sabe es que fueron los antiguos griegos, los que los plantearon con precisión en términos matemáticos.

Sucintamente, los retos eran:

• La cuadratura del círculo
• La trisección del ángulo
• La duplicación del cubo
• La inscripción de todos los polígonos regulares en un círculo

Expresados así, quizás confunden pero realmente lo que nos están pidiendo es...

• Dibujar un cuadrado cuya área sea la misma que la de un círculo dado
• Dividir un ángulo en tres ángulos iguales
• Dibujar un cubo que sea el doble de grande que otro
• Dividir un círculo en partes iguales

Mejor, ¿no?

Pero, como dijo el escritor Donald Westlake, “siempre que algo suena fácil, resulta que hay una parte que no escuchaste”... o, en este caso, que no hemos dicho. Para resolver estos retos solo puedes hacerlo al estilo de la Antigua Grecia, es decir, además de algo con qué dibujar, algo en qué dibujar y tu mente, únicamente puedes usar un compás y una regla sin marcas.

¿Por qué?

“Es una buena pregunta. Y hay varias respuestas”, le dijo a BBC Mundo el matemático David Richeson, autor de Tales of Impossibility (en español: Cuentos de imposibilidad). “Una respuesta es que el compás y la regla están muy claramente incrustados en los postulados del libro fundamental de matemáticas los Elementos de Euclides (~siglo 300 a.C.).

“Otra es que representan las herramientas más básicas que se han usado desde siempre. Con una cuerda puedes tener una línea recta, y si fijas un extremo al suelo puedes dibujar un círculo con el otro. Pero, también, por su simplicidad y elegancia. Para mí, lo sorprendente no es tanto lo que no se puede hacer sino todo lo que se puede hacer con estas herramientas”. Puedes, por ejemplo, bisecar un ángulo (dividirlo en dos ángulos iguales) fácilmente”.

• Apoyas el compás en el vértice del ángulo y dibujas un arco.
• Apoyas el compás en uno de los puntos de intersección del arco con las líneas, y dibujas un arco.
• Lo mismo en el otro punto de intersección.
• Trazas una línea entre el vértice del ángulo y el punto de intersección de los dos arcos.

“La bisección de un ángulo es algo que aprendemos en la clase de geometría en el colegio. Es muy sencillo”, dice Richeson. “Pero la pregunta que interesaba a los griegos es, si tuvieras un ángulo, ¿podrías dividirlo en 3 partes iguales? La respuesta fue: a veces sí, pero no hay una regla general sobre cómo hacerlo”. Y precisó: “Eso no quiere decir que estos problemas sean imposibles, independientemente de las herramientas que utilices. Pero con esas herramientas euclidianas clásicas son imposibles de resolver”

Arquímedes, uno de los más grandes matemáticos de la historia, demostró que si la regla tenía solo dos marcas, se podía medir exactamente una distancia, y eso era suficiente para poder trisectar cualquier ángulo, cuenta Richeson. “Así que si sus herramientas eran un poquito más sofisticadas, se podían resolver estos problemas”.

Pero así no se vale: el desafío es hacerlo cumpliendo con las reglas del juego, un juego irresistible para mentes brillantes...

...muy brillantes

El primero que se sabe intentó cuadrar el círculo fue Anaxágoras, el matemático griego famoso por ser el primero en introducir la filosofía en Atenas, en el siglo V a.C. Estuvo en prisión por afirmar cosas como que el Sol no era un dios sino una roca que ardía al rojo vivo y que la Luna reflejaba su luz, según contó el historiador Plutarco. Pasó esos días tratando en vano de construir, con sólo un compás y una regla, un cuadrado con la misma área que un círculo.

Su contemporáneo, Hipócrates de Quíos, uno de los matemáticos cuya obra fue sintetizada en la geometría euclidiana, logró una solución parcial alentadora: la luna (o lúnula) de Hipócrates, la primera cuadratura de una figura curvilínea de la historia.

Pasarían 23 siglos antes de que el gran matemático y físico suizo Leonhard Euler encontrara dos nuevos tipos de lunas cuadrables en 1771, lo que, sin embargo, no contribuiría a cuadrar el círculo, como se llegó a pensar.

Ese es apenas el principio de la larga lista de matemáticos y aficionados que se le midieron al reto armados solamente con esas dos herramientas. “Leonardo da Vinci pasó por un período en el que estaba realmente fascinado con las matemáticas y la geometría, y trató de resolver estos problemas, pero también incorporó su talento artístico para crear diseños con ellos”, señala Richeson.

Y no fue el único renacentista que lo intentó. El artista más famoso del Renacimiento alemán, Albrecht Dürer o Alberto Durero, fue también uno de los matemáticos más importantes de la época.

En el segundo libro de su obra Los cuatro libros de la medida dio métodos aproximados para cuadrar el círculo usando construcciones con regla y compás. Y proporcionó un método para obtener una buena aproximación al trisector de un ángulo con herramientas euclidianas.

Para Richeson, una de las más fascinantes de las muchas historias es una sobre la construcción de polígonos regulares o, lo que es igual, la división del círculo en partes iguales.

“Siempre fue un problema notoriamente complicado: se sabía cómo hacer varios de ellos, pero no todos. Algunos, como los polígonos de 7, 9 y 17 lados, eran desconocidos y durante muchos años la gente se preguntó si eran imposibles”, le contó a BBC Mundo.

Desde la época de la Grecia clásica hasta finales del siglo XVIII no hubo ningún progreso significativo, usando so lo las herramientas euclidianas. Hasta que llegó el prodigio matemático Carl Gauss. “En 1796, Gauss, que entonces era un adolescente pero terminó siendo uno de los matemáticos más famosos de la historia, demostró que se podía construir un polígono regular de 17 lados.

“Fue uno de sus primeros descubrimientos, y era algo que había resultado imposible a generaciones de matemáticos”. Además hay que tener en cuenta que, como estos problemas no son prácticos sino teóricos, las pruebas de su resolución son más importantes que la resolución en sí. Y el profundo análisis que hizo Gauss para probar su descubrimiento abrió la puerta a ideas posteriores de la teoría de Galois.

Así que si te estabas preguntando de qué sirvió que tantas mentes brillantes se esforzaran tanto tratando de lograr lo que, en varios casos, se podía con otras herramientas, este es un ejemplo del proceso de retroalimentación que produjo más y más conocimientos.

“Tratar de resolver estos problemas realmente impulsó las matemáticas, pero también a medida que se desarrollaban nuevas matemáticas, la gente volvía a estos problemas antiguos y veía si lo que se había descubierto ayudaba a resolverlos. “Fue una especie de ida y vuelta a lo largo de los siglos”, explica el experto.

No todo es posible

Si bien tratar de resolver estos problemas contribuyó al progreso de las matemáticas, demostrar si era posible hacerlo dependió de ese avance. “Hubo que esperar la invención de la geometría analítica, el álgebra, el cálculo, los números complejos, una comprensión profunda de π e incluso algo de teoría de números, y eso fue parte de la razón por la que tomó tanto tiempo”.

En el caso de la cuadrar el círculo, por ejemplo, “el tiro de gracia fue cuando se descubrió que π era un número trascendental”. Tras siglos de una obsesión a la que los mismos antiguos griegos ya le habían dado nombre -tetragonidzein o ocuparse con la cuadratura del círculo-, todo llegó a su fin.

No había sido solo una ambición de luminarias más o menos célebres, quienes con sus esfuerzos beneficiaron el conocimiento. Miles a lo largo de los años sufrieron lo que en el siglo XIX el matemático Augustus De Morgan llamó morbus cyclometricus o la enfermedad de la cuadratura del círculo que, según él, afectaba a los entusiastas mal informados. Entre ellos hasta un contador y matemático aficionado argentino llamado Elías O’Donnell.

En 1870 publicó un libro con “la más íntima conciencia de que en este tratado está demostrada del modo más convincente y riguroso la resolución deseada exacta de la cuadratura del círculo”, según declaró en la primera página. “Y por grave que aparezca esa frase, ella será la verdad para todos los siglos de la posteridad”, añadió.

Sin embargo, ya desde 1801 se sabía, gracias a Gauss que, si π (el área de un círculo con un radio de 1) era trascendente, la cuadratura del círculo sería imposible. Y en 1882 el también alemán Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró que, efectivamente, π era un número trascendental.

Cuarenta y cinco años antes, el matemático francés Pierre Wantzel (1814-1848) ya había probado en una sola de las 7 páginas de un artículo que los otros tres problemas eran imposibles de resolver. Todo eso es asombroso, pues probar que algo es imposible es tremendamente difícil... e importante.

“Generalmente, cuando pensamos en algo que es imposible, creemos que es muy difícil, o que puede llevar mucho tiempo, o algo así. Pero, cuando un matemático demuestra que algo es imposible, eso significa que desde un punto de vista lógico no puede suceder: no hay forma de trisectar un ángulo general. No hay forma de cuadrar un círculo”.

“No se trata solo de ‘no somos lo suficientemente inteligentes’, o ‘no nos hemos esforzado lo suficiente’, o ‘necesitamos más tiempo’. Es: ‘hasta aquí llegamos: es imposible’”, subraya Richeson. “Hay un montón de teoremas de imposibilidad famosos en matemáticas, y todos son muy venerados, pues se demostró un negativo: que algo no puede pasar. Y eso es un logro increíble”.

Eso no quiere decir que la gente se dé por vencida. En 1897, por ejemplo, el Senado de Indiana, EE.UU. discutió un proyecto de ley para legalizar un método de cuadrar el círculo descubierto por el médico y matemático aficionado Edwin L. Goodwin. La ley que buscaba “introducir una nueva verdad matemática” fue aceptada inicialmente por un comité aunque finalmente rechazada.

Y se dice que no hay matemático con email que no haya recibido soluciones de cuadradores de círculos, duplicadores de cubos o trisectores de ángulos convencidos de haber encontrado la solución. “Insisten por ese malentendido de lo que significa imposible”, dice Richeson.

También porque “son fáciles de describir y jugar con ellos”, por lo que lo intentan, creen que los han resuelto “y envían las soluciones a los matemáticos de las universidades. Está garantizado que habrá un error en alguna parte, ya sea matemático o con las reglas. Así que tal vez han encontrado una manera de resolver uno de estos problemas, pero no usando las reglas clásicas”.

Euclides construyó todo un palacio de sabiduría, y fecundó más ideas, pues sus contemporáneos y las generaciones siguientes continuaron tratando de impulsar el conocimiento valiéndose, como él, únicamente de un compás y una regla. En el caso de estos cuatro problemas, es posible que desde la Grecia clásica se sospechara que no eran viables, pero intentarlo fue muy enriquecedor.

*Por Dalia Ventura

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