Matemáticas: “1 − 1 + 1 − 1 + ...”, la desconcertante explicación sobre cómo Dios creó el mundo

¿Podrían las matemáticas explicar el sentido de la vida, el universo y todo lo demás? Quién sabe, pero siempre vale la pena tratar.

Uno de los intentos de demostrar la probabilidad de algo tan desconcertante como el principio de todo se dio con algo que se representa como ves en la imagen de arriba. Con ∑, ∞ y varias x puede ser un poco intimidante.

Pero todo eso se puede representar de otra manera: 1 − 1 + 1 − 1 + ...

Son operaciones simples pero si las repites hasta el infinito, se convierten en una suma que ocupó a los más grandes matemáticos desde el siglo XVIII. La gran pregunta era: ¿Cuál es el resultado de esa suma infinita? Una respuesta intuitivamente obvia es que no hay respuesta: si continúa infinitamente, oscilará entre 0 y 1 sin detenerse nunca en un único valor.

Sin embargo, esa es apenas una de las 4 opciones barajadas a lo largo del tiempo. Y quizás la más sorprendente es la que más convenció al primer matemático que llamó la atención a este rompecabezas conocido como la serie de Grandi.

El instigador

Luigi Guido Grandi (1671 - 1742) fue un sacerdote, filósofo, matemático e ingeniero que nació en Cremona, hoy Italia. Su interés por las matemáticas tardó un poco en brotar pero con su primer libro “Geometrica divinatio Vivianeorum problematum”, publicado en 1699, se ganó el reconocimiento en casa y en otros países.

Su reputación lo llevaría a convertirse en 1707 en el matemático de la corte del Gran Duque de Toscana, Cosimo III de’ Medici, y en esa capacidad estuvo a cargo de importantes proyectos de ingeniería, incluido el drenaje del valle de Chianna.

Colaboró además en la publicación de la primera edición de los trabajos de Galileo Galilei (1718), publicó una versión italiana de los “Elementos” de Euclides (1731), asesoró al papa Clemente XII sobre la reforma del calendario e introdujo en Italia las ideas de Gottfried Leibniz sobre el cálculo.

Admirado también en el extranjero, llegó a ser miembro de la prestigiosa Royal Society de Londres en 1709, luego de que Isaac Newton publicara su trabajo sobre la teoría de la música.

Una de sus obras más admiradas fue su estudio de rosa polar, una familia de curvas que se asemejan a flores, a las que él nombró rhodoneas (del griego rhodon, rosa), en su libro “Flores Geometrici” (1725).

Pero fue otra de sus obras la que despertó no sólo el interés de sus pares sino también una acalorada polémica en torno a la serie que lleva su nombre.

0, 1, 1/2

El libro, publicado en 1703 y llamado “Cuadratura del círculo e hipérbola”, contenía un resultado que llamó mucho la atención. Grandi había estudiado esa suma infinita de 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

Y había observado que añadiéndole paréntesis, se llegaba a resultados distintos. (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1)... la convertía en 0 + 0 + 0..., que claramente es igual a 0.

Pero si se escribía así: 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1)... entonces la suma se convertía en 1 + 0 + 0 + 0..., que daría 1. Eso ya de por sí era sorprendente. Aún más fue que afirmara que la suma de infinitos 0 es igual a 1/2.

Grandi prefirió explicar ese resultado con una parábola en la que imaginó a dos hermanos que heredaban una valiosa gema de sus padres. Tenían prohibido venderla, y cortarla por la mitad arruinaría su valor. Los hermanos acordaron que se alternarían la propiedad de la gema, intercambiándola cada día de Año Nuevo.

Suponiendo que el acuerdo continuara indefinidamente, entonces, desde el punto de vista de cada hermano, la propiedad de la gema puede representarse por la serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · Así que cada hermano posee la gema la mitad del tiempo, por lo que el valor de esta serie sería 1/2.

Quizás te asombre, pero varios matemáticos prominentes de la época concordaron con que esa era la respuesta.

El renombrado Leibniz llegó a la misma conclusión por medio de otros métodos, y declaró que 1/2 era la respuesta que le parecía correcta, aunque reconoció que su argumento era más “metafísico que matemático”.

El suizo Leonhard Euler, uno de los más grandes y prolíficos matemáticos de todos los tiempos, hizo sus propios cálculos y escribió en 1760:

“No puede quedar ninguna duda de que, de hecho, la serie 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + etc. y la fracción 1/2 son cantidades equivalentes y que siempre está permitido sustituir una por otra sin error”.

Como ellos, otros matemáticos en toda Europa discutieron la serie infinita, llegando a sus propias conclusiones. Pero hubo uno en particular que no estaba muy contento con las ideas de Grandi.

De la nada al todo

Alessandro Marchetti (1633 - 1714) era el profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa y resentía la fama internacional de Grandi. Intentando desacreditarlo, criticó duramente su libro.

En respuesta, Grandi publicó una segunda edición de “Cuadratura...” en 1710. Pero esta vez se le permitió incluir un comentario que los censores habían exigido eliminar en la versión anterior, condición que él había aceptado a regañadientes. Era una afirmación aún más asombrosa que los resultados que había obtenido.

Su reflexión fue que si al agregar paréntesis a la expresión 1 − 1 + 1 − 1 + · · · en diferentes maneras podía obtener 1 o 0, “entonces la idea de la creación ex nihilo era perfectamente plausible”. La creación ex nihilo es la creación a partir de la nada.

Es más, si de una suma infinitamente prolongada de ceros se podía obtener una cantidad finita, era necesario “reconocer ese poder infinito”, una fuerza que hasta “multiplicando lo que en sí mismo es nada, lo transforma en algo, del mismo modo que, dividiendo una magnitud finita, la obliga a degenerar en la nada”.

Y había sido “por el poder infinito del Dios Creador que todas las cosas fueron hechas de la nada, y todas las cosas pueden reducirse a la nada”. Así, Grandi parecía haber llegado a una demostración matemática de que Dios había creado todo de la nada. Por supuesto, esto no hizo más que atizar las llamas: Marchetti publicó luego un ataque a esta segunda edición en 1711 al que Grandi respondió con otro artículo en 1712.

La controversia continuó hasta la muerte de Marchetti en 1714. El interés por la serie de Grandi, sin embargo, persistió. Aunque sus argumentos no resisten el escrutinio matemático moderno, sí hay un marco para sumas infinitas en el que la serie de Grandi es igual a 1/2.

Se conoce como suma de Cesàro, en honor al matemático italiano de finales del siglo XIX Ernesto Cesàro. No obstante, según varias fuentes, la opinión generalizada de los matemáticos hoy en día es que el valor de la serie de Grandi no es ni 1 ni 0 ni 1/2: el resultado de esa suma infinita no es ninguno. Pero si fuera alguno, sería 1/2.

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